Un problème qui ne peut pas être insoluble

Ceci est un icosaèdre, le dernier des cinq solides platoniciens,
20 faces, 20 triangles équilatéraux.
Sur ma lancée il est bien évident que je ne veux qu'une chose :
décomposer ce noble icosaèdre en 20 pyramides reliées en un seul point central où convergeront les 20 sommets. Oui mais voilà, je ne sais pas déterminer la hauteur du petit tétraèdre multiplié vingt fois. On m'avait aidé pour résoudre le même problème avec le tétraèdre. Je lance un nouvel appel pour venir à bout de ce problème très déprimant. (J'ai hâte de le monter, de le manipuler, de le présenter sous toutes ses coutures.) J'aime beaucoup les problèmes mais je les trouve plus aimables si je parviens à les résoudre dans un délai raisonnable.
Pour l'instant je ne connais qu'une seule mesure d'angle et il m'en faut une deuxième.
La question est donc :
Comment connaître la hauteur du petit tétraèdre à multiplier vingt fois ?