Un simple cube posé sur un de ses sommets

On n'a pas fini de s'étonner.

Quentin Aubé m'a posé un problème que je croyais simple.

Comment trouver les dimensions de l'hexagone qui correspond à la projection d'un cube que l'on désire représenter posé sur une pointe, un autre des sommets face à notre œil ?

Il faut bien réfléchir et si on peut regarder un cube en vrai, si possible transparent, calculer la diagonale qui mène d'un sommet à son opposé. On peut jubiler plusieurs fois en croyant avoir trouvé. Et puis déchanter, s'apercevant qu'on s'est trompé. Les mathématiciens géniaux sont capables je n'en doute pas de faire virevolter tout ça avec aisance dans leur cerveau parfaitement organisé, pour ma part je dois reconnaître qu'il me faut examiner réellement un cube, celui justement dont je ne savais pas quoi faire en juillet 2010 et d'y placer à l'intérieur des équerres de papier mesurant cette diagonale pour commencer à pouvoir comprendre. A deux on peut se mettre à comprendre qu'il n'est pas difficile de mesurer une des dimensions de l'hexagone recherché si on dessine le cube vu de haut comme un carré sur une pointe, la largeur de l'hexagone correspond à la diagonale de ce carré, l'autre dimension en découle puisqu'il s'agit d'un hexagone régulier. Illustrator nous aide à dessiner ça sans délai. Reste que la hauteur du cube posé sur un sommet dépasse les dimensions de cet hexagone, et là, on cale encore un peu avant de comprendre.

On peut regarder les images sans chercher à comprendre ce qu'on lit.

C'est pourtant simple apparemment !

Un cube, quand même !

Hippolyte et son mazzocchio dix-huit

En retard depuis le 25 juin voici qu'hier soudain en toute hâte fut réalisé un mazzocchio 18 dont j'avais depuis longtemps mûri le projet. En attendant des photos prises par Raphaëlle, voici cet aperçu d'un objet qui ne ressemble pour l'instant à aucun précédemment construit.

Et son destinataire Hippolyte.

L'imagination procède au retournement

On aura remarqué, je l'espère bien, qu'il suffirait de retourner les petits trièdres blancs convexes, de les retourner pour qu'ils deviennent concaves mais aussi de les faire PIVOTER pour obtenir le fameux dodécadodécaèdre.

C'est si simple à penser tout d'un coup.

Mais si difficile à imaginer en quelque matière que ce soit.

Où est le matériau de rêve qui permettrait cette transformation édifiante ?

Ne pas confondre

Lequel de ces deux dodécaèdres est habillé en dodécadodécaèdre ?

Lequel est un intrus ?

Mais cet intrus, si on en faisait un polyèdre inédit ?

Il suffirait de remplacer les petits triangles blancs par des volumes convexes en déplaçant transversalement la petite arête qui au lieu de relier les pointes relierait les creux.

Il y a fort à parier que quelque mathématicien géomètre aura accordé un nom à ce phénomène, sinon je lui donne le mien.

Ai-je bien sculpté un dodécadodécaèdre ?

Sculpture virtuelle oui, mais néanmoins exigeante en doigté, savoir faire, précision, minutie. Ouvrir l'œil, toujours, et s'étonner d'avoir établi suffisamment de tracés rectilignes pour au moins faire apparaître la face convexe du solide.

Je crois avoir compris que je renonçais pour l'instant à fabriquer ce qu'on ne voit pas.

Pire qu'un Mikado

A l'aide, je me perds dans les tracés.

Ce qui se conçoit pourtant sans difficulté, ajouter aux étoiles les lignes tendues chargées de dessiner les trièdres concaves qui les relient, se nichent si gentiment entre leurs bras tendus, devient éminemment ardu quand tout est transparent. Voir à travers n'est pas de tout repos.

On notera ici que la photographie repose l'œil.

On n'oubliera pas que ceci peut être considéré comme le modèle de ce que le dessin du haut tente d'atteindre.

La bonne étoile

Avoir compris que le dodécadodécaèdre était un dérivé direct du dodécaèdre engageait à le vérifier de visu. Je suis allé rechercher un fichier de décembre 2006, un dodécaèdre en perspective construite rigoureuse, sur lequel j'ai pu ajouter les bonnes étoiles. Les yeux attentifs remarqueront qu'il faut passer par l'intermédiaire d'une première étoile, celle dont les pointes touchent les angles, pour construire la bonne étoile, celle dont les pointes touchent les milieux des arêtes.

J'ai tenté de retrouver pour la photo d'un dodécaèdre en vrai volume l'angle exactement similaire à celui du dessin.

Mais c'est bien difficile.

Et puis je me demande si le dessin est si exact que ça. Il a l'air un peu maigre mon dessin de 2006.

Et comme il n'y a aucune raison de ne pas faire exister l'autre dodécaèdre à grandes étoiles qui n'est pas sur la bonne voie pour devenir un dodécadodécaèdre voici les deux patrons quand même.

On notera que j'aurai pris soin d'accorder une couleur grise à cet ersatz.

Légère progression

Reprise après une pause

Depuis hier et suite à des rencontres récentes je me suis entiché de deux polyèdres aux noms très compliqués qui sont complices en dualité : voici donc un début de dodécadodécaèdre.

Ludlow et Lynotype