Merci à mes lecteurs

Merci à AR GAVAS d'avoir lu mes difficultés et de me renvoyer au document de Wikipédia que je n'ai pas été assez malin pour déchiffrer tout seul.

Et merci à Jean-Jacques Dupas dont la présentation des polyèdres est très claire.

Quand je vois sa table encombrée je me dis que j'ai encore pas mal de travail et d'erreurs à réorienter vers la vérité mathématique. Il me prend à rêver que je comprends tout.

Une erreur de jeunesse

Un moment j'y ai cru : et si je pouvais me dispenser de tout calcul et parier sur un tétraèdre régulier ? 20 gentils petits tétraèdres dont la parfaite régularité me dispenserait de tout calcul ? C'est beau l'enthousiasme. Naïf innocent, il a fallu déchanter, la réalité géométrique oppose à mon rêve son implacable loi (universelle). Et puis, réflexion faite, si un tel agglomérat avait été la solution ça se saurait, à n'en pas douter.
La solution de la subdivision de l'icosaèdre reste à calculer encore.
J'ai peut-être une idée...

Un problème qui ne peut pas être insoluble

Ceci est un icosaèdre, le dernier des cinq solides platoniciens,
20 faces, 20 triangles équilatéraux.
Sur ma lancée il est bien évident que je ne veux qu'une chose :
décomposer ce noble icosaèdre en 20 pyramides reliées en un seul point central où convergeront les 20 sommets. Oui mais voilà, je ne sais pas déterminer la hauteur du petit tétraèdre multiplié vingt fois. On m'avait aidé pour résoudre le même problème avec le tétraèdre. Je lance un nouvel appel pour venir à bout de ce problème très déprimant. (J'ai hâte de le monter, de le manipuler, de le présenter sous toutes ses coutures.) J'aime beaucoup les problèmes mais je les trouve plus aimables si je parviens à les résoudre dans un délai raisonnable.
Pour l'instant je ne connais qu'une seule mesure d'angle et il m'en faut une deuxième.
La question est donc :
Comment connaître la hauteur du petit tétraèdre à multiplier vingt fois ?

Octaèdre subdivisé par une triste lumière d'hiver

Sans aide, l'octaèdre ne reste pas compact, le papier plié fait ressort et le très sage polyèdre ne demande qu'à éclater dans un apparent désordre ; apparence seulement.

Qui devinerait que sous ce polyèdre se cache un octaèdre ?

Subdivisé et retourné comme un gant il prend pourtant cette forme que je ne saurais nommer. Je ne l'ai pas encore remarquée sur les sites des mathématiciens. Mais ça viendra sans doute.

Dodécaèdre subdivisé photographié

Octaèdre subdivisé en huit tétraèdres

Oubliées les incertitudes et les difficultés de penser ces huit petites pyramides articulées pour faire et défaire un octaèdre régulier.

Faire et défaire c'est toujours travailler, disait-on chez moi autrefois.

En ce qui concerne le développé c'est facile :

la base est un triangle équilatéral, les trois autres faces sont des triangles isocèles avec un angle à 90° et deux angles à 45°, déconcertant de simplicité !

Inversées, les huit petites pyramides forment une sorte d'étoile que je n'ai jamais vue. Elle a peut-être un nom mais je l'ignore.

Dodécaèdre coupé en douze pyramides réversibles

Hop.

Ça marche.

Bien même.

A l'endroit.

A l'envers.

Curieux comme ça a l'air sage un dodécaèdre fermé.

On l'ouvre et ça se déverse dans l'atmosphère.

Ça forme une étoile.

C'est encore en papier et c'est fragile.

On voit ce qu'il reste à faire.

L'icosaèdre : 20 pyramides à articuler.

Huit de plus.

Et l'octaèdre alors ?

Ça ne se découperait pas de la même façon un octaèdre ?

Bizarre, j'ai du mal à penser l'opération.

J'ai sauvé mon dimanche.

Oui, sauvé de la déception d'avoir confondu Concord MA avec Concord NH, plus loin de Boston et sans lien aucun avec Henry-David Thoreau.

Tétraèdre récalcitrant : les bonnes mesures, merci.

Grâce aux constructions et aux calculs de Fabien Yvon et de Henri-Michel Jean les bonnes mesures du tétraèdre coupé en quatre sont enfin déterminées :

Mais pour voir le nouveau granatoèdre (ou dodécaèdre rhombique) il faudra avoir construit deux tétraèdres décomposés en quatre et les retourner comme un gant avant de les ajuster tête bêche.

Tout s'explique.

Mais il me faudrait quelques cours de mathématiques et aussi, pour d'autres raisons, de physique.

Henri-Michel me signale le logiciel libre GEOGEBRA avec lequel il a réalisé le calcul ci-dessous :

Tétraèdre récalcitrant

Je cherche depuis hier, à l'instar du cube, à découper le tétraèdre régulier en quatre tétraèdres mais je ne parviens pas à déterminer la hauteur de ces petites pyramides. Mes différents calculs, mes tentatives de constructions aboutissent à des échecs. Pour tromper mon agacement je fais ce dessin perspectif, avec le secret espoir qu'il pourrait me révéler la solution. Si quelqu'un a une idée je suis prêt à l'entendre. Je ne voudrais quand même pas abandonner ce projet.

De plus cet échec me fait craindre une erreur dans la division entamée du dodécaèdre, erreur que seule l'épreuve du montage complet rendra visible.

Constat du ratage :

la première pyramide s'inscrit d'une façon convaincante

mais dès la deuxième c'est évident, rien ne va plus.

Avant de pouvoir voir

Les erreurs, certes, sont toujours intéressantes, théoriquement, mais cette fois par précipitation, en sautant une étape dans la mesure de la hauteur de la petite pyramide à base pentagonale à multiplier douze fois, j'ai retardé la mise en forme complète (et correcte je l'espère) de ce volume connu mais jamais encore décomposé de la sorte. Je l'espère car rien ne me permet pour l'instant d'en être sûr, la matérialité palpable et parfaitement ajustée, seule dira si ce qui fut conçu dans un éclair tient debout. Eclair de lucidité qui fait suite à bien des tâtonnements, aveuglements, hésitations, oublis et ignorances mais que l'on peut verser au compte des bénéfices acquis à la suite de compréhensions précédentes.

Et puis pour le développé de l'assemblage retardé de quelques jours il m'aura fallu chercher aussi pour trouver quelque chose de régulier et linéaire car ma petite pyramide est augmentée, tout le monde l'aura remarqué, d'un triangle supplémentaire destiné à l'accrocher sur le dos de son voisin immédiat.

Un autre granatoèdre encore, interne

Quand j'ai imaginé cet objet, je faisais une confusion, je pensais que retourner à moitié chaque pyramide, en rapportant la pointe au milieu de chaque face du cube, j'obtiendrais un dual mais non. (Ce n'est clair qu'une fois réalisé, matériellement devant moi et je me demande si les géomètres aveugles sont plus clairvoyants.) En revanche, c'est bien à nouveau un granatoèdre que l'on retrouve niché au creux du cube. J'en ai construit un identique et extrait du cube pour qu'on puisse le voir. La division des losanges en deux triangles de couleurs différentes n'aide pas, c'est vrai, à son identification. Il faudrait en faire d'autres encore. Mais beaucoup de polyèdres se présentent au bureau des demandes de matérialisation, se succèdent rapidement, parfois simultanément, il y a une liste d'attente.

Où reparaît l'ami granatoèdre

Oui, c'est un œil très avisé qui sans hésiter en considérant les photos publiées le jeudi 24 décembre m'a suggéré qu'en retournant complètement les pyramides apparaîtrait un autre polyèdre ! Aussitôt suggéré aussitôt exécuté et la surprise fut grande de retrouver le fameux granatoèdre dont j'avais fait mon ami il y a quelques mois. Les couleurs sont là pour aider à comprendre que la réunion de deux triangles appartenant à des pyramides différentes forme le losange dont le calcul des angles m'avait fourni à l'époque quelques difficultés à surmonter.

Denis Diderot "Figurez vous un cube"

On trouve une évocation de Saunderson dans la Lettre sur les Aveugles à l'usage de ceux qui voient de Denis Diderot mais curieusement c'est seulement dans les Additions à la lettre sur les aveugles que je retrouve la division du cube en six pyramides, sans qu'elle soit attribuée à Saunderson. Je préfère néanmoins m'entêter à maintenir ce lien.

Saunderson dans le Nouveau Dictionnaire Historique de Louis Mayeul Chaudon, 1786, Volume 7

"Ce fait pourroit paroitre incroyable si l'on ne considéroit que l'optique & toute la théorie de la vision s'expliquent entièrement au moyen des lignes, & qu'elle est soumise aux règles de la géométrie."

Pour accéder au texte numérisé, cliquer ici.

L'importance des diagonales

Tiens, j'ai passé bien du temps sans me livrer au dessin perspectif rigoureux.