dimanche 5 septembre 2010

Obnubilé par la transformation du dodécaèdre en cube

Obnubilé, oui, et je ne sais pas si je dois remercier Fritjof Capra ou le maudire : selon lui, Léonard de Vinci réussit à convertir un dodécaèdre en cube. Il dit bien que c'est l'exemple le plus sophistiqué mais il passe un peu légèrement sur la démonstration, et quand il affirme que les quatre étapes sont clairement illustrées je ne réussis pas à être d'accord.
Si l'on reprend la démonstration après la découpe de chacune des douze pyramides à base pentagonale en cinq pyramidons, je peux suivre, j'ai déjà montré le résultat.

Que faut-il faire ensuite ?
"Ensuite il transforme la base triangulaire de chacune d'elles en un rectangle de surface égale, conservant donc le volume de la pyramide."
Pour transformer la base triangulaire en un rectangle j'ai imaginé couper le triangle en deux pour le réassembler sous forme de rectangle :


Et voilà, j'aboutis sur cette sorte de bonnet d'âne bien loin de ressembler au volume que j'essaie de discerner sur le dessin rapide de Léonard.
Il me semble bien que ce que dessine Léonard alors n'est plus une pyramide mais une sorte de coin, un prisme triangulaire, son sommet n'est plus une pointe mais une ligne.
Si monsieur Fritjof Capra trouve la démonstration claire, tant mieux pour lui, je dois avouer que pour ma part les connaissances géométriques nécessaires me manquent pour comprendre cette transformation.



Je comprends en scrutant mieux le schéma de Léonard de Vinci qu'il est plus astucieux pour obtenir un rectangle à partir d'un triangle de procéder ainsi plutôt que comme je l'avais pensé précédemment. Mais je ne comprends toujours pas comment d'un volume pyramidal dont le sommet est une pointe, il passe à un volume prismatique dont le sommet est une ligne.
Que quelqu'un m'explique, vite...

En toute logique, à base égale, le prisme est d'un volume supérieur à la pyramide.
On voit nettement ci-dessus en bleu le volume ajouté si le sommet pointu est transformé en ligne.
J'espère en apprendre plus très bientôt.
Spécialistes, où êtes-vous ?

5 commentaires:

Anonyme a dit…

Bonjour,
la solution est sur le site italien Museo Galileo
http://brunelleschi.imss.fi.it/menteleonardo/emdl.asp?c=13419&k=13363&rif=13370&xsl=1
[IV.3A Transformation of Geometric Shapes]

IV.3A.c5
Transformation of a dodecahedron into a cube having the same volume
Model after Leonardo da Vinci, Forster Ms. I, 7r, 15v, 16r, 20r
Romano Folicaldi, Fermo

Anonyme a dit…

IV.3A.c2
Leonardo da Vinci, Forster Ms. I, 15v
Transformation of a dodecahedron into a cube having the same volume.
To perform "cubing"of a dodecahedron, in order to calculate its volume, Leonardo breaks down the polyhedron into 12 pyramids with pentagonal base, each of which is then further broken down into 5 pyramids with triangular base. Each of the resulting pyramids is then transformed into a parallelepiped, which, multiplied by 60, forms another parallelepiped, which is in turn transformed into a cube having the same volume as the dodecahedron: "I intend to transform a long parallelepiped ... and this will be done with the aid of the fifth [Euclid], by transforming the parallelepiped otux into the square amon."

Anonyme a dit…

Leonardo, en pratique, a décomposé le dodécaèdre en 12 pyramides à la base pentagonale avec le sommet commun au centre du doecaedre. Les bases correspondent aux figures du dodécaèdre.
Puis il a décomposé chaque pyramide en cinq pyramides à la base triangulaire; en totale 60 pyramides à la base triangulaire. Puis il a calculé le volume d'une de ces pyramides et il a construit un cube de volume équivalent, mais il n'explique pas la formule du calcul.
Ensuite il a mis ensemble 60 cubes pour obtenir le cube de volume équivalent au dodecaedre.
Le mécanisme est clair. Mais il est difficile de dire comment il a fait parce que Leonardo exprime tout à travers le dessin, sans formulations mathématiques.
léonard de vinci en utilisant du plomb a pu fondre les 60 pyramidions pour obtenir 60 petits cubes est ainsi transformé un dodécaèdre en un cube de même volume.
Si Vasari n'a pu connaître lui-même l'artiste, il a travaillé dans des ateliers où son souvenir était encore très vivace et il écrit : Quoi qu'il fasse, chacun de ses gestes est si divin que tout le monde en est éclipsé, et on saisit clairement qu'il s'agit là d'une faveur divine et non d'un effort humain."

Anonyme a dit…

Enfin, Cellini dit de lui qu'il est "un ange incarné". Pourtant si Vinci connaît la notoriété, il doit faire face aussi à de nombreux échecs, d'oeuvres inabouties, comme si ce visionnaire ne pouvait réaliser jusqu'au bout ce qu'il crée en esprit.

Anonyme a dit…

Le polyèdre troublant de Dürer et l’héritage de Piero della Francesca.