Comprendre son erreur

La satisfaction de comprendre une erreur compense un peu le désarroi d'avoir été mis devant le fait accompli. Ne sachant d'abord où chercher l'origine de l'erreur, tant l'apparence de chaque module était trompeuse, une petit vérification m'a mis vite sur la voie.

Pour aller vite, pour être efficace, je n'ai pas pris garde à une chose que pourtant j'ai déjà eu maintes fois l'occasion de rencontrer : un polygone impair n'est pas symétrique horizontalement et verticalement. Le polygone à neuf côtés qui constitue le pourtour extérieur du mazzocchio 54 ne pouvait donc pas être ajusté au polygone intérieur en jouant de l'outil très pratique qui aligne deux "objets" par le milieu.

L'image montre que superposés après avoir fait quelques tours sur eux-mêmes les deux polygones identiques coïncident bien sur leur pourtour extérieur mais pas sur leur pourtour intérieur comme le montrent les marges rose pâle et vert pâle. Ma construction n'avait aucune chance de tomber juste.

C'est ainsi qu'il faut procéder pour dessiner le polyèdre interne :

faire tourner de 40° la figure de base huit fois de suite.

Eliminer les tracés superflus après intersection.

Dans ce cas, aucune crainte à avoir, mon mazzocchio sera parfaitement régulier.

Cent fois sur le métier remettez votre ouvrage

Rater un mazzocchio peut arriver, sans crier gare, alors que chaque module paraissait pourtant gentiment bien ficelé, parfait en apparence. C'est vexant mais il faut s'en remettre. On étudiera demain la situation pour tenter de cerner la source de l'erreur. A ce point là il ne peut pas s'agir des variations dues aux découpages, pliages et collages manuels. Que faire des morceaux obtenus, ou placer ces impostures ? Au musée des erreurs ? Il fait pourtant bien beau.

Une erreur par oubli

J'avais tout simplement oublié de calculer l'allongement de la section aux coudes.

Ce n'est pourtant pas si difficile à mesurer, il suffit d'y penser.

J'ai tenu à monter le module erroné pour qu'on distingue sans ambiguïté la faute commise et le moyen d'y remédier.

ON NE PEUT PAS TRANSFORMER UN DODECAEDRE EN CUBE

Je posais cette question le dimanche 5 septembre 2010, Jean-Jacques Dupas m'a aujourd'hui répondu et je lui en suis très reconnaissant.

Voici ce qu'il me dit :

"En fait il n’est malheureusement pas possible de transformer, par dissections polyédriques, un dodécaèdre en cube, c’est Max Dehn qui l’a démontré en 1900 ou 1901, c’est la résolution du troisième problème d’Hilbert Cf. mon article dans Tangente à ce sujet.

De même on ne peut passer d’aucun solide de Platon au Cube

Par contre on peut passer de tout solide pavant l’espace au cube et réciproquement."

Jean-Jacques Dupas

Je rappelle que c'est à la lecture d'un livre sur Léonard de Vinci par Fritjof Capra que j'avais voulu vérifier cette affirmation.

Fausse joie ?

Non, grande joie d'en savoir un peu plus.

Montgolfière ?

Montgolfière, c'est l'image qui est venue en reprenant ce tressage interrompu pour cause d'erreur. Et puisqu'il était décidé qu'il fallait en finir autant réduire suffisamment la largeur des rubans parallèles en sorte de pouvoir les coller sans trop de peine. Ne pas marquer les arêtes pousse le polyèdre vers la sphère et c'est bien ça qui serait magique, si la perfection matérielle n'était pas un rêve inspiré par certaines images virevoltantes, enivrantes, mais virtuelles. Je n'irai pas jusqu'à dire que la réalité est décevante. Il me faudrait juste un peu de nerf. Mais je lis des livres. Et prends des notes. Et m'emporte. M'enthousiasme. Pour des histoires de pare-brises néerlandais ou matissiens.

Montgolfière, il me faut monter au ciel en montgolfière et vérifier ce que je sais, la ligne droite de l'horizon - horizon que jamais les terriens ne peuvent regarder de haut, horizon qui en aucun cas, du haut d'un ballon, ne peut apparaître "bas" comme on peut le lire à la page 64 des Arpenteurs du Monde de Daniel Kehlmann traduit chez Actes Sud (sans doute un autre numéro de page dans l'édition de poche Babel).

Je n'ai toujours pas déterminé si l'erreur est à imputer à Juliette Aubert, qui a traduit par "Les terres incurvées au loin. L'horizon bas, le sommet des collines se fondant presque dans la brume.", les phrases allemandes : "Das in die Ferne gekrümmte Land. Der tiefe Horizont, die Hügelkuppen, halb aufgelöst im dunst."

Die vermessung der Welt.

Car enfin, ce roman qui met en scène les savants Alexander von Humboldt et Carl Friedrich Gauss, pionnier (ou inventeur) des géométries courbes, semble trop sérieusement documenté pour qu'une telle affirmation - non vérifiée - de la courbure de la terre perceptible du haut d'un ballon soit passée sous la plume du brillant jeune écrivain à succès. Me reste à lui poser la question, d'une part, et à m'offrir une ascension en Montgolfière (du côté de Fontainebleau c'est possible je crois) au printemps prochain.

Obnubilé par la transformation du dodécaèdre en cube

Obnubilé, oui, et je ne sais pas si je dois remercier Fritjof Capra ou le maudire : selon lui, Léonard de Vinci réussit à convertir un dodécaèdre en cube. Il dit bien que c'est l'exemple le plus sophistiqué mais il passe un peu légèrement sur la démonstration, et quand il affirme que les quatre étapes sont clairement illustrées je ne réussis pas à être d'accord.

Si l'on reprend la démonstration après la découpe de chacune des douze pyramides à base pentagonale en cinq pyramidons, je peux suivre, j'ai déjà montré le résultat.

Que faut-il faire ensuite ?

"Ensuite il transforme la base triangulaire de chacune d'elles en un rectangle de surface égale, conservant donc le volume de la pyramide."

Pour transformer la base triangulaire en un rectangle j'ai imaginé couper le triangle en deux pour le réassembler sous forme de rectangle :

Et voilà, j'aboutis sur cette sorte de bonnet d'âne bien loin de ressembler au volume que j'essaie de discerner sur le dessin rapide de Léonard.

Il me semble bien que ce que dessine Léonard alors n'est plus une pyramide mais une sorte de coin, un prisme triangulaire, son sommet n'est plus une pointe mais une ligne.

Si monsieur Fritjof Capra trouve la démonstration claire, tant mieux pour lui, je dois avouer que pour ma part les connaissances géométriques nécessaires me manquent pour comprendre cette transformation.

Je comprends en scrutant mieux le schéma de Léonard de Vinci qu'il est plus astucieux pour obtenir un rectangle à partir d'un triangle de procéder ainsi plutôt que comme je l'avais pensé précédemment. Mais je ne comprends toujours pas comment d'un volume pyramidal dont le sommet est une pointe, il passe à un volume prismatique dont le sommet est une ligne.

Que quelqu'un m'explique, vite...

En toute logique, à base égale, le prisme est d'un volume supérieur à la pyramide.

On voit nettement ci-dessus en bleu le volume ajouté si le sommet pointu est transformé en ligne.

J'espère en apprendre plus très bientôt.

Spécialistes, où êtes-vous ?

Un très énigmatique problème d'angle

Ceci est un icositétraèdre pentagonal.

Autrement dit un polyèdre composé de 24 faces pentagonales.

Icosi veut dire 20 et tétra veut dire 4.

Depuis un moment j'avais remarqué sur l'un des nombreux sites ou livres consultés des polyèdres composés de pentagones non réguliers. Le problème habituel consiste à trouver les bonnes mesures des angles et je m'étonne toujours que ce ne soit jamais si simple. Le patron est plus facile à trouver. Il y a là une logique des mathématiciens qui m'échappe comme m'échappe généralement le langage mathématique (hélas).

Si quelqu'un pouvait me dire pourquoi les différentes sources me donnent quatre angles de valeur 114°48 (ou quelque chose de très proche) et un angle de 80°46 (ou proche) alors que si je reconstitue ce pentagone irrégulier selon le schéma consultable ci-dessous, je trouve 82°279 comme valeur pour le cinquième angle.

Une telle différence m'étonne. J'ai beau chercher d'autres sources, les calculs des mathématiciens n'aboutissent jamais au résultat que le tracé me procure.

L'inquiétude était bien évidemment de passer beaucoup de temps à découper un patron défectueux, mais j'ai réussi le collage, le volume semble correct.

J'aimerais bien qu'on m'explique cette énigme.

Le jeu de l'erreur / Mistake

Je vous propose une devinette, un exercice mental : quelle est l'erreur qui s'est glissée malencontreusement dans le tracé de ce patron de rhomboèdre régulier ?

Where is the mistake ? Please, tell me.

2009 01 25 : Les réponses fusent, c'est sidérant.

La preuve par l'erreur

L'idée ici est d'ajourer l'ouvrage.
Une erreur malheureuse mais tout simplement due à la négligence, j'ai omis de penser que la moitié de dix était cinq, impair qui implique une impossibilité d'alternance du damier. On pourrait néanmoins ne pas le voir une fois l'objet fini à condition de ne pas l'inspecter sous toutes les coutures (ce genre d'inspection, on peut le signaler, est assez rare, mais, on ne sait jamais et puis moi je le saurai toujours...). Je n'en suis pas à terminer la chose, j'en suis à boucler mon bagage pour voler vers Berlin. Irai-je du côté de la boucherie Bauer, Julius Strasse, non loin de Tempelhof ?

Comprendra-t-on ?

Ce projet remontait à mai. Etait en retard depuis mai. Restait en souffrance depuis mai. Repris enfin hier soir, repris en tâchant de réchauffer la hâte refroidie par un si long laps, repris car enfin ça ne se fait pas d'abandonner dans l'inachevé des maisons censées monter et tourner. Mais on n'y comprendra rien si je ne me penche pas plus concrètement sur le problème. J'espérais recréer une belle hélicoïde continue mais patatras, c'est plat, tout plat, avec des murs inclinés inutilement.
Guère envie d'insister. On aimerait mieux rentrée plus triomphale.
Et le poids des hésitations concernant un plus récent emballement, le fameux pilier en V qui récemment piqua la zone sensible. Demain peut-être ?

Circonspection

Je ne remets pas la main sur le premier essai de collage de ces maisons issues de l'hélicoïde mais un cran au-dessus dans la conception puisque cette fois le sol, la porte et les fenêtres obéissent à la pente de la rue dans laquelle elles sont implantées. J'avais bien vu qu'à cause d'un défaut de conception qui ne lissait pas tout décalage j'avais le choix entre deux modes de voisinage, soit le cran non désiré apparaissait vers l'extérieur, soit vers l'intérieur ; par honnêteté" (avatar de transparence moderniste) j'avais opté pour la première solution mais sans assembler assez de maisons pour voir comment se comportait l'hélicoïde à propos de laquelle je me posais quelques questions.
Je découvre maintenant que les toits accolent à peu près leurs profils en distribuant un décalage équitable de part et d'autre tout en offrant aux sols une continuité presque parfaite. L'interrogation qui ne demande que la confirmation d'un tour complet, c'est qu'à ce compte je n'aurai pas en mains une hélicoïde mais seulement un mazzocchio de maisons biaisées. Le sol en sera horizontal et les murs inclinés. Il y a quelque chose qui cloche là-dedans, j'y retourne immédiatement. (Comme dirait Boris)
(Médiatement préciserai-je, car entre-temps, un séjour breton de trois semaines me laissera le loisir de cultiver l'accroc, surtout s'il pleut, de ce sérieux problème laissé en plan.)

Maison oblique

On comprendra peut-être la nature de la nouvelle idée dont j'aurais tant aimé déposer une version réussie sur la grande table de la galerie du Bellay samedi prochain en observant le document qui présente le développé en cours. Bien sûr c'est encore une variation sur la rue qui monte et qui tourne mais cette fois plus rien n'est horizontal, le sol, le toit les fenêtres et les portes des maisons suivent la même pente que la rue. Saugrenu ? Il s'agit en fait de l'application méthodique d'une erreur de perspective, idée apparue il n'y a pas loin de dix ans quand j'ai commencé à m'intéresser aux rues en pente (qui sont fortes dans les rues du Mans et à proximité de l'école).
(Je n'avais pas connaissance alors de la fonction oblique chère à Claude Parent qui n'aimerait pas voir son idée confondue avec une image de maison "niche à chien".)
Mes recherches d'hier étaient dotées de trop de défauts, de surfaces gauches ; j'ai résolu aujourd'hui de tout redessiner et j'ai bien cru un moment avoir vaincu intelligemment toutes les difficultés ! Ce n'est qu'au moment de vouloir accoler l'une à l'autre deux maisons dont la continuité devrait se trouver sur la même ligne que je me suis aperçu qu'elles formaient un décrochement. Je crois avoir décidé que j'en tirerais parti.
Pour le reste je me suis amusé à superposer trois prototypes de travail pour en faire des photos.

Encore une erreur décidément

Aujourd'hui je voulais réaliser le mazzocchio d'anniversaire 39 faces 39 ans, j'en avais déjà fait une image en perspective, je n'ai pas été très long à établir le plan du développé mais j'ai dû me tromper quelque part puisque le treizième module ne peut pas être inséré dans la série. Me voilà avec deux moitiés plus un élément et devant l'obligation de tout recommencer. Ce n'est pas grave sauf que je ne voudrais pas que ça compromette mon projet d'en réaliser plusieurs pour différentes personnes que je demanderai à Sylvain de photographier avec chacun son mazzocchio sur la tête ou à la main si on trouve que sur la tête c'est trop ridicule.

En passant par des erreurs

L'idée nouvelle depuis quelques semaines était de faire alterner maisons avec pignons sur rue avec les maisons avec façade sur rue du mazzocchio de douze maisons qui a donné lieu aux deux variations RUE QUI MONTE ET QUI TOURNE ET RUE SERPENTINE.

Etablir le prototype de cette nouvelle maison a fatalement donné lieu à des erreurs.

En voici une, les pignons sont concaves :

Cette erreur maîtrisée, j'ai pu rétablir le développé correct et réaliser le prototype que j'ai accolé à une maison du modèle précédent pour avoir une idée de l'alternance.







Reste à déterminer avec quelles couleurs réaliser l'objet complet et s'il donnera lieu à des variations et lesquelles.